区间估计

Description

设 $X_1,\dots ,X_n$ 是从总体中抽出的样本， $\theta$ 的估计区间为 $[\widehat{{\theta }_1}(X_1,\dots ,X_n),\widehat{{\theta }_2}(X_1,\dots ,X_n)]$ 。 这里有两个要求：

1. $\theta$ 要以很大的可能性落在区间 $[\widehat{{\theta }_1},\widehat{{\theta }_2}]$ 之内，即概率：

$P_{\theta }(\widehat{{\theta }_1}(X_1,\dots ,X_n)\le \theta \le \widehat{{\theta }_2}(X_1,\dots ,X_n))$ 要尽可能大。

1. 估计的精度要尽可能高，即要求区间的长度 $\widehat{{\theta }_2}-\widehat{{\theta }_1}$ 尽可能小。

给定一个很小的数 $\alpha >0$ ，如果对参数 $\theta$ 的任何值，上式概率都等于 $1-\alpha$ ， 则称区间估计 $[\widehat{{\theta }_1},\widehat{{\theta }_2}]$ 的置信系数为 $1-\alpha$ 。 区间估计也常称为置信区间。

有时，我们无法证明上式对一切 $\theta$ 都恰好等于 $1-\alpha$ ，但知道它不会小于 $1-\alpha$ ， 则我们称 $1-\alpha$ 是 $[\widehat{{\theta }_1},\widehat{{\theta }_2}]$ 的置信水平。 可知，置信水平不是一个唯一的数，若 $\beta$ 为置信水平，那么小于 $\beta$ 的数也是置信水平， 置信系数是置信水平中的最大值。

枢轴变量法

这个方法的思想是：用已有的统计量去估计未知的参数。

1. 找一个与要估计的参数 $g(\theta )$ 有关的统计量 $T$ ，一般是一个良好的点估计。
2. 设法找出 $T$ 和 $g(\theta )$ 的某一函数 $S$ ，其分布 $F$ 要与 $\theta$ 无关， $S$ 称为枢轴变量。
3. 对任意常数 $a\le b$ ，不等式 $a\le S(T,g(\theta ))\le b$ 要能改写成等价形式 $A\le g(\theta )\le B$ 。
4. 取分布 $F$ 的上 $\alpha /2$ 分位点 $w_{\alpha /2}$ 和 $1-\alpha /2$ 分位点 $w_{\alpha /2}$ ，则有 $F(w_{\alpha /2})-F(w_{1-\alpha /2})=1-\alpha$ ，因此 $P(w_{1-\alpha /2}\le S(T,g\theta )\le w_{\alpha /2})=1-\alpha$ 。

大样本法

利用极限分布，主要是中心极限定理，建立枢轴变量。