Inverse transform sampling

Description

已知 $U\sim Unif[0,1]$ ，并且有随机变量 $X$ 的累积分布函数 $CDF{F}_X(x)$ ，如何生成一个随机数 $X$ ？

如果有一个强变换 $T:[0,1]$ ，使得 $T(U)=X$ ，则

$$F_X(x)=Pr(X\le x)=Pr(T(U)\le x)=Pr(U\le T^{-1}(x))=T^{-1}(x),x\in \mathbb{R}$$

上诉化简用到了 $Pr(U\le y)=y$ 这个知识。

因此，我们知道 $F_X$ 和 $T$ 互为反函数，即 $T(u)=F_X^{-1}(u),u\in [0,1]$ 又有 $T(U)=X$ ，所以 $X=F_X^{-1}(U)$ 。

也就是说，如果我们有了 $[0，1]$ 的随机分布，就对想要的函数进行采样。