Normal distribution

如果一个连续型变量具有概率密度函数：

$$f(x)=(\sqrt{2\pi }\sigma {)}^{-1}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

其中 $-\infty <x<\infty$ ，则称 $X$ 为正态随机变量，记为 $X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$ 。

需要证明 $f(x)$ 的确可以作为一个概率密度，需要证明 $f(x)>0$ 并且 ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$ 。

前者显然，为证后者，做变量代换 $t=(x-\mu )/\sigma$ ，转化为证明：

$$\mathcal{I}={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-t^2/2}dt=\sqrt{2\pi }$$

证明上式需要使用高数中非常常见的一个技巧：

$${\mathcal{I}}^2={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-t^2/2}dt{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-u^2/2}du={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-(t^2+u^2)/2}dtdu$$

转化成极座标 $t=r\cos \theta ,u=r\sin \theta$ ：

$${\mathcal{I}}^2={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\infty }{e}^{-r^2/2}rdr=2\pi$$

当 $\mu =0,{\sigma }^2=1$ 时，概率密度变成：

$$f(x)=e^{-x^2/2}/\sqrt{2\pi }$$

记作 $\mathcal{N}(0,1)$ ，称为标准正态分布。

其密度函数和分布函数分别记为 $\phi (x)$ 和 $\Phi (x)$ ，并有很详细的表可以查询。

若 $X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$ ，则 $Y=(X-\mu )/\sigma \sim \mathcal{N}(0,1)$ 。