条件概率分布

Description

对于离散型随机变量：

$$P(X_1=a_i|X_2=b_j)=P(X_1=a_i,X_2=b_j)/P(X_2=b_j)$$

对于连续型随机变量，其条件分布函数为：

\begin{align*} &P(X_1\leq x_1|a\leq X_2\leq b) \\ &= P(X_1\leq x_1,a\leq X_2\leq b)/P(a\leq X_2\leq b) \\ &= \int_{-\infty}^{x_1}dt_1\int_a^bf(t_1,t_2)dt_2 / \int_a^b f_2(t_2) dt_2 \\ \end{align*}

其条件密度函数为：

$$f_1(x_1|a\le X_2\le b)={\int }_a^{b}f(x_1,t_2)d{t}_2/{\int }_a^b{f}_2(t_2)d{t}_2$$

联合密度函数：

$$f(x_1,x_2)=f_2(x_2)f_1(x_1|x_2)=f_1(x_1)f_2(x_2|x_1)$$

当边缘条件概率密度不依赖于其他随机变量，即：

$$f_1(x_1|x_2)=f_1(x_1)$$

那么联合密度函数为：

$$f(x_1,x_2)=f_1(x_1)f_2(x_2)$$