Probability Theory

Description

事件的概率

事件的蕴含、包含和相等 ：在同一试验下的两个事件 A 和 B，如果当 A 发生时 B 必发生，则称 A 蕴含 B，或者说 B 包含 A，即为 $A\subset B$ 。 若 A，B 互相蕴含，即 $A\subset B$ 且 $B\subset A$ ，则称 A，B 两事件相等，即为 $A=B$ 。

事件的互斥与对立 ：若两事件 A，B 不能在同以此试验中都发生（但可以都不发生），则称它们是互斥的。 如果一些事件中任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的，或简称互斥的。 互斥的另一个重要情况是“对立事件”，若 A 为一事件，则事件 $B=A不发生$ 为 A 的对立事件，记为 $\bar{A}$ 。 即： $对立事件\subset 互斥事件$ 。

事件的和（并） ：设有两个事件 A，B，定义新事件 $C=A发生，或B发生$ ，这样的事件称为事件 A 和 B 的和，记为 $C=A+B$ 。 事件的和也被称为事件的并，也常被记为 $A\cup B$ 。

事件的积（交） ：设有两个事件 A，B，定义新事件 $C=A，B都发生$ ，这样的事件被称为事件 A 和 B 的积，记为 $C=AB$ 。 事件的积也被称为事件的交，也常被记为 $A\cap B$ 。

事件的差 ：两个事件 A，B 之差，定义为 $A-B=A发生，B不发生=A\bar{B}$ 。

条件概率 ：设有两个事件 A，B，而 $P(B)\ne 0$ 。则“在给定 B 发生的条件下 A 的条件概率”，记为 $P(A|B)$ ，定义为：

$$P(A|B)=P(AB)/P(B)$$

事件的独立性 ：若 $P(A)=P(A|B)$ ，则 B 的发生与否对 A 发生的可能性毫无影响，这是称 A，B 两事件相互独立。可推出：

$$P(AB)=P(B)P(A|B)=P(B)P(A)$$

多个事件的独立性 ：设 $A_1,A_2,\dots$ 为有限或无限个事件，如果从其中任意取出有限个 $A_{i_1},A_{i_2},\dots ,A_{i_m}$ ，都成立

$$P(A_{i_1}{A}_{i_2}\dots A_{i_m})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\dots P(A_{i_m})$$

1. 独立事件的任一部分也独立。
2. 相互独立必两两独立，反之不一定。

加法定理 ：若干个互斥事件之和的概率，等于各事件的概率之和。

乘法定理 ：若干个独立事件之积的概率，等于各事件的概率之积。

完备事件群 ：设 $B_1,B_2,\dots$ 为有限个或无限个事件，它们两两互斥且在每次试验中至少发生一个，即：

\begin{align*} B_{i}B_j &= \varnothing \\ B_1+B_2+\dots &=\Omega \end{align*}

把具有这些性质的一组事件称为一个“完备事件群”。

全概率公式 ： $P(A)=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+\dots$

贝叶斯公式 ： $P(B_i|A)=P(A{B}_i)/P(A)=P(A|B_i)P(B_i)/{\sum }_{j}P(B_j)P(A|B_j)$

随机变量和概率分布

随机变量 ：随机变量是“其值随机会而定”的变量，是关于试验结果的函数。 分布函数 ：设 $X$ 为一随机变量，则函数 $P(X\le x)=F(x)(-\infty <x<\infty )$ 称为 $X$ 的分布函数。 根据定义，很容易等到分布函数的两个性质：

1. 单调递增不减
2. 当 $x\to \infty$ ， $F(x)\to 1$ ；当 $x\to -\infty$ ， $F(X)\to 0$

离散型随机变量

连续型随机变量

多维随机变量

边缘分布

条件概率分布

数学期望与中位数

数学期望

方差

矩

协方差和相关系数