Total Derivative

Description

在微积分中，函数 $f$ 在某一点的全微分是指：该函数在该点附近关于其自变量的最佳线性近似。 与Partial Derivative不同，全微分反映了函数关于其所有自变量的线性近似，而非单个自变量。

对于二元函数 $f(x,y)$ ，设 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义， $(x_0+\delta x,y_0+\delta y)$ 为该邻域内的任意一点， 则该函数在点 $(x_0,y_0)$ 的变化量 $\delta f=f(x_0+\delta x,y_0+\delta y)-f(x_0,y_0)$ 可表示为：

\begin{equation*} \delta f = A\delta x + B\delta y + o(\rho) \end{equation*}

其中， $A,B$ 皆为常值且仅与点 $(x_0,y_0)$ 有关，而与 $\delta x,\delta y$ 无关， $\rho =\sqrt{(\delta x{)}^2+(\delta y{)}^2}$ 。 若 $o(\rho )$ 是当 $\rho \to 0$ 时的高阶无穷小，则称函数 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微分， 向量 $(A,B)$ 为函数 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 的全微分。

充分条件

一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是： 此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导数在该点都连续，则此函数在该点可微。

证明略。

必要条件

如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微分，则该函数在点 $(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$ 必定存在，且函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的全微分为

$$\delta z=\frac{\partial z}{\partial x}\delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\delta y$$

证明 ： 令 $\delta y=0$ ，

$$f(x+\delta x,y)-f(x,y)=A\delta x+o(|\delta x|)$$

两边各除以 $\delta x$ ，再令 $\delta x\to 0$ 而取极限，

$$\underset{\delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\delta x,y)-f(x,y)}{\delta x}=A=\frac{\partial z}{\partial x}$$

证毕。

几何意义

在函数 $f(x,y)$ 上经过点 $(x,y)$ 的某条曲线，在该点处的切线的斜率，即全微分。 这条曲线在 $xoz$ 平面上投影的斜率为 $A$ ，在 $yoz$ 平面上投影的斜率为 $B$ 。

偏导和方向导数都是特殊的全微分。

偏导和方向导数所对应的曲线是在一个平面中的，所以它在映射到对应平面的时候不会变形， 但普通的曲线（不在一个平面中的），拍扁的过程中会变形，因此这些曲线没有全微分。

Ref

• https://www.zhihu.com/question/26966355/answer/154857139