Normal distribution

如果一个连续型变量具有概率密度函数：

$$ f(x)=(\sqrt{2\pi}\sigma)^{-1}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}} $$

其中 $-\infty < x < \infty$ ，则称 $X$ 为正态随机变量，记为 $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})$ 。

需要证明 $f(x)$ 的确可以作为一个概率密度，需要证明 $f(x)>0$ 并且 $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1$ 。

前者显然，为证后者，做变量代换 $t=(x-\mu)/\sigma$ ，转化为证明：

$$ \mathcal{I}=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^{2}/2}dt=\sqrt{2\pi} $$

证明上式需要使用高数中非常常见的一个技巧：

$$ \mathcal{I}^2=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2/2}dt\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2/2}du=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(t^2+u^2)/2}dtdu $$

转化成极座标 $t=r\cos{\theta},u=r\sin{\theta}$ ：

$$ \mathcal{I}^{2}=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\infty}e^{-r^2/2}rdr=2\pi $$

当 $\mu=0,\sigma^2=1$ 时，概率密度变成：

$$ f(x)=e^{-x^2/2}/\sqrt{2\pi} $$

记作 $\mathcal{N}(0,1)$ ，称为标准正态分布。

其密度函数和分布函数分别记为 $\varphi(x)$ 和 $\Phi(x)$ ，并有很详细的表可以查询。

若 $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ ，则 $Y=(X-\mu)/\sigma\sim\mathcal{N}(0,1)$ 。