Inverse transform sampling

已知 $U\sim Unif[0,1]$ ，并且有随机变量 $X$ 的累积分布函数 $CDF F_{X}(x)$ ，如何生成一个随机数 $X$ ？

如果有一个强变换 $T:[0,1]$ ，使得 $T(U)=X$ ，则 $$ F_{X}(x)=Pr(X\leq x)=Pr(T(U)\leq x)=Pr(U\leq T^{-1}(x))=T^{-1}(x),x\in\mathbb{R} $$ 上诉化简用到了 $Pr(U\leq y)=y$ 这个知识。

因此，我们知道 $F_{X}$ 和 $T$ 互为反函数，即 $T(u)=F_{X}^{-1}(u),u\in[0,1]$ 又有 $T(U)=X$ ，所以 $X=F_{X}^{-1}(U)$ 。

也就是说，如果我们有了 $[0，1]$ 的随机分布，就对想要的函数进行采样。