区间估计

设 $X_1,\dots,X_n$ 是从总体中抽出的样本， $\theta$ 的估计区间为 $[\hat{\theta_1}(X_1,\dots,X_n),\hat{\theta_2}(X_1,\dots,X_n)]$ 。 这里有两个要求：

1. $\theta$ 要以很大的可能性落在区间 $[\hat{\theta_1},\hat{\theta_2}]$ 之内，即概率：

$P_{\theta}(\hat{\theta_1}(X_1,\dots,X_n)\leq\theta\leq\hat{\theta_2}(X_1,\dots,X_n))$ 要尽可能大。

1. 估计的精度要尽可能高，即要求区间的长度 $\hat{\theta_2}-\hat{\theta_1}$ 尽可能小。

给定一个很小的数 $\alpha>0$ ，如果对参数 $\theta$ 的任何值，上式概率都等于 $1-\alpha$ ， 则称区间估计 $[\hat{\theta_1},\hat{\theta_2}]$ 的置信系数为 $1-\alpha$ 。 区间估计也常称为置信区间。

有时，我们无法证明上式对一切 $\theta$ 都恰好等于 $1-\alpha$ ，但知道它不会小于 $1-\alpha$ ， 则我们称 $1-\alpha$ 是 $[\hat{\theta_1},\hat{\theta_2}]$ 的置信水平。 可知，置信水平不是一个唯一的数，若 $\beta$ 为置信水平，那么小于 $\beta$ 的数也是置信水平， 置信系数是置信水平中的最大值。