Total Derivative
Description
在微积分中，函数 $f$ 在某一点的全微分是指：该函数在该点附近关于其自变量的最佳线性近似。 与# Partial Derivative不同，全微分反映了函数关于其所有自变量的线性近似，而非单个自变量。
对于二元函数 $f(x,y)$ ，设 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义， $(x_0+\delta x,y_0+\delta y)$ 为该邻域内的任意一点， 则该函数在点 $(x_0,y_0)$ 的变化量 $\delta f=f(x_0+\delta x,y_0+\delta y)-f(x_0,y_0)$ 可表示为：
$ \delta f = A\delta x + B\delta y + o(\rho) $
其中， $A,B$ 皆为常值且仅与点 $(x_0,y_0)$ 有关，而与 $\delta x,\delta y$ 无关， $\rho = \sqrt{(\delta x)^2+(\delta y)^2}$ 。 若 $o(\rho)$ 是当 $\rho\rightarrow 0$ 时的高阶无穷小，则称函数 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微分， 向量 $(A,B)$ 为函数 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 的全微分。
充分条件
一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是： 此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导数在该点都连续，则此函数在该点可微。
证明略。
必要条件
如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微分，则该函数在点 $(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial{z}}{\partial{x}},\frac{\partial{z}}{\partial{y}}$ 必定存在，且函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的全微分为
$$ \delta z=\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\delta{x}+ \frac{\partial{z}}{\partial{y}}\delta{y} $$
证明 ： 令 $\delta{y}=0$ ，
$$ f(x+\delta{x},y)-f(x,y)=A\delta{x}+o(|\delta{x}|) $$
两边各除以 $\delta{x}$ ，再令 $\delta{x}\rightarrow 0$ 而取极限，
$$ \lim_{\delta{x}\rightarrow 0}\frac{f(x+\delta{x},y)-f(x,y)}{\delta{x}}=A =\frac{\partial{z}}{\partial{x}} $$
证毕。
几何意义
在函数 $f(x,y)$ 上经过点 $(x,y)$ 的某条曲线，在该点处的切线的斜率，即全微分。 这条曲线在 $xoz$ 平面上投影的斜率为 $A$ ，在 $yoz$ 平面上投影的斜率为 $B$ 。
偏导和方向导数都是特殊的全微分。
偏导和方向导数所对应的曲线是在一个平面中的，所以它在映射到对应平面的时候不会变形， 但普通的曲线（不在一个平面中的），拍扁的过程中会变形，因此这些曲线没有全微分。